What is monad?
A monad is just a monoid in the category of endofunctors, what's the problem?

今天我們要介紹的是在泛函編程裡“惡名昭彰”的Monad（單子）。Monad這個詞最早出現於萊布尼茨的單子論，是萊布尼茨的哲學思想精髓。萊佈尼茲定義單子為一切事物的形上學基本元素，無限數量的單子充斥於時空，單子互相嵌合影響所形成的整體感知呈現。

不過此Monad非彼Monad。我們要談的是來自於範疇論的名詞。當然從範疇論出發可以最確實的理解與感受Monad，可是理解的操作性意義可以從比較應用的角度理解。

考慮定義域為實數的函數f(x)=sqrt(x)，當x>=0的時候不會有什麼問題，可是如果x<0的話（不考慮複數）就會發生錯誤。解決方法之一是放著讓程式自己因出錯終止（常出現的壞習慣）或是讓程式提出（raise）錯誤信息。這些方法以泛函編程的觀點來說實屬缺乏。這時候可以定義一個新的函式f(x)=safeSqrt(x)，當x>=0時，safeSqrt回傳sqrt(x)，x<0時回傳Nothing。這時候我們輸入的形態在輸出時被“裝飾”成了新的形態。

 

f∷a→b, fSafe∷a→mb

 

提到函式作重要的感念是函式的合成。例如對f=1/x及g=x+1進行合成得到=1/(x+1)。這時候就有個問題了，如果要合成的函式輸出被修飾過，就無法順利的合成了！

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f∷a→mb, g∷b→mc

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這時候Monad就出來解決問題了。Monad提供了被“裝飾”的函式能夠順利合成的方法。

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f∷a→b, g∷b→c, f∙g∷a→c

f∷a→mb, g∷b→mc, f>=>g∷a→mc

 

這個就是Monad在泛函編程裡的重要性：提供被修飾函式順利合成的方法及概念。

有些眼尖的讀者也許發現了我沒有解釋Monad如何解決函式的合成問題還有>=>是個什麼玩意。不急，這就解釋。首先讓我們看看>=>符號的功能

(>=>)∷(a→mb)→(b→mc)→(a→mc)

 

>=>將兩個被裝飾過的函式合成新的裝飾函式，如果把裝飾的形態mb想象成是個盒子m裝著形態b的球。如果你要把函式g作用在b上面使它成為mc，其實就是要把盒子裡的b取出，將g作用於b，再將結果(mc)放回盒子。以上的的過程稱為fmap。

 

可是這還沒完成，放回盒子的東西變成mc，包含盒子就是m(mc)所以還要另外的操作將mc取出盒子，才能夠真的完成合成從a變成mc，而這個操作稱為join。

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以整個過程完整的變化如下圖所示：